Question

如图，∠AOB=30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃…、半圆C_n的半径分别是r₁、r₂、r₃…、r_n，则

r2013

r2012

=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：规律型

分析：作C₁D₁⊥OB于D₁，作C₂D₂⊥OB于D₂，作C₃D₃⊥OB于D₃，如图，根据切线的性质得C₁D₁=r₁，C₂D₂=r₂，C₃D₃=r₃，再根据两圆相切的性质得C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，在Rt△OC₁D₁中根据含30度的直角三角形三边的关系得OC₂=2C₁D₁=2r₁，在Rt△OC₂D₂中可得2r₁+r₁+r₂=2r₂，则r₂=3r₁，在Rt△OC₃D₃中同样得到2r₂+r₂+r₃=2r₃，则r₃=3r₂，于是可推出后面圆的半径是它前面一个圆的半径的三倍，则

r2013

r2012

=3．

解答：解：作C₁D₁⊥OB于D₁，作C₂D₂⊥OB于D₂，作C₃D₃⊥OB于D₃，如图，
∵n个半圆都与射线OB相切，
∴C₁D₁=r₁，C₂D₂=r₂，C₃D₃=r₃，
∵n个半圆依次外切，
∴C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，
在Rt△OC₁D₁中，∵∠O=30°，
∴OC₂=2C₁D₁=2r₁，
在Rt△OC₂D₂中，∵∠O=30°，
∴OC₂=2C₂D₂，即2r₁+r₁+r₂=2r₂，
∴r₂=3r₁，
在Rt△OC₃D₃中，∵∠O=30°，
∴OC₃=2C₃D₃，即2r₂+r₂+r₃=2r₃，
∴r₃=3r₂，
∴r₂₀₁₃=3r₂₀₁₂，
即

r2013

r2012

=3．
故答案为3．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了两圆相切的性质．