Question

20．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形折叠，使B点落在AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF，称为矩形ABCD的“折痕三角形”．当折痕△BEF的面积最大时，AE的长为6-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 当点F与点C重合时，△BEF的面积有最大值，设AE=x，则DE=6-x，由折叠的性质可知：EC=BC=6，在Rt△EDC中，利用勾股定理可得到关于x的方程，然后解方程即可求得AE的长．

解答 解：如图所示：

设AE=x，则ED=6-x，由折叠的性质可知EC=CB=6．
在Rt△EDC中，由勾股定理得：ED²+DC²=EC²，即：（6-x）²+3²=6²，
解得：x₁=6-3$\sqrt{3}$，x₂=6+3$\sqrt{3}$（舍去）．
∴AE=6-3$\sqrt{3}$．
故答案为：6-3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的翻折的性质、勾股定理的应用，根据翻折的性质求得EC的长度，然后在Rt△EDC中，由勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．