Question

【题目】综合与实践

问题情境

数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．

如图1，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF．连接DF．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①AE=BD，AE⊥BD；②DF=AB，DF⊥AB．

解决问题：

（1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题．

探索发现：

（2）“实践小组”在图1的基础上，将△EDC绕点C顺时针旋转角度（0°＜＜90°），其它条件保持不变，得到图2．

①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

②如图3，当AD=AF时，请求出此时旋转角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①成立，见解析；②45°

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质及线段的和差关系可得AE=DB，由旋转的性质可得∠EBF=90°，BE=BF，根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可证明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF；

（2）①如图，延长AE与BD交于点P，交BC于O，根据旋转的性质可得∠ACE=∠DCB，利用SAS可证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠CAE=∠CBD，根据角的和差关系可得∠APB=90°，可得AE⊥BD；根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可证明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF；

②根据AD=AF，AB⊥DF可得AB垂直平分DF，可得BD=BF=BE，利用SSS可证明△BEC≌△BDC，可得∠DCB=∠ECB=∠ECD=45°，根据旋转的性质可得α=∠DCB=45°．

（1）∵△ABC与△EDC为等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=DC，

∴AE=DB．

∵将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF，

∴∠EBF=90°，BE=BF，

∵∠AEB=∠C+∠EBC，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠C=∠EBF=90°，

∴∠AEB=∠DBF．

在△AEB和△DBF中，

∴△AEB≌△DBF，

∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．

∵∠ABE+∠ABF=90°，

∴∠DFB+∠ABF=90°，

∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．

（2）①如图，延长AE与BD交于点P，交BC于O，

∵将△EDC绕点C顺时针旋转角度

∴∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．

∵∠AOC=∠BOP，∠AOC+∠CAO=90°，

∴∠CBD+∠BOP=90°，

∴∠APB=90°，即AP⊥BD．

∵∠AEB=∠APB+∠EBD，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠APB=∠EBF=90°，

∴∠AEB=∠DBF．

在△AEB和△DBF中，

∴△AEB≌△DBF，

∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．

∵∠ABE+∠ABF=90°，

∴∠DFB+∠ABF=90°，

∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．

②∵AD=AF，AB⊥DF，

∴AB垂直平分DF．

∴BD=BF=BE，

在△BEC和△BDC中，

∴△BEC≌△BDC，

∴∠DCB=∠ECB=∠ECD=45°．

∴旋转角α的大小是45°．