Question

9．设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）若x₁²+x₂²=2，求m的值；
（2）代数式$\frac{m{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{m{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用判别式的意义得到△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）≥0，解得m≤1，加上m是不小于-1的实数，则-1≤m≤1，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，接着利用完全平方公式得（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，则4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2，然后解方程即可得到满足条件的m的值；
（2）先通分，再把x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3整体代入得到代数式为-2m+2，然后根据m的取值范围，利用一次函数的性质确定代数式的最大值．

解答 解：（1）根据题意得△=4（m-2）²-4（m²-3m+3）≥0，解得m≤1，
∵m是不小于-1的实数
∴-1≤m≤1，
x₁+x₂=-2（m-2），x₁x₂=m²-3m+3，
∵x₁²+x₂²=2，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，
∴4（m-2）²-2（m²-3m+3）=2，
整理得m²-5m+4=0，解得m₁=1，m₂=4（舍去），
∴m的值为1；
（2）代数式有最大值．理由如下：
$\frac{m{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{m{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=m•$\frac{{x}_{1}-{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=m•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=m•$\frac{-2（m-2）-2（{m}^{2}-3m+3）}{1+2（m-2）+{m}^{2}-3m+3}$=-2m+2，
∴-1≤m≤1且m≠0，m≠1，
∴当m=-1时，代数式的值最大，最大值为4．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．