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【题目】在△ABC中,∠A=60°BDCE是△ABC的两条角平分线,且BDCE交于点F,如图所示,用等式表示BEBCCD这三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;

晓东通过观察,实验,提出猜想:BE+CD=BC,他发现先在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可.

1)下面是小东证明该猜想的部分思路,请补充完整;

①在BC上截取BM,使BM=BE,连接FM,则可以证明△BEF______全等,判定它们全等的依据是______

②由∠A=60°BDCE是△ABC的两条角平分线,可以得出∠EFB=______°

2)请直接利用①,②已得到的结论,完成证明猜想BE+CD=BC的过程.

【答案】1)①△BMFSAS;②60;(2)见解析

【解析】

1)①由BDCEABC的两条角平分线知∠FBE=FBC=ABC,结合BE=BMBF=BF,依据“SAS”即可证得BEF≌△BMF

②利用三角形内角和求出∠ABC+ACB=120°,进而得出∠FBC+FCB=60°,得出∠BFC=120°,即可得出结论;

2)利用角平分线得出∠EBF=MBF,进而得出BEF≌△BMF,求出∠BFM,即可判断出∠CFM=CFD,即可判断出FCM≌△FCD,即可得出结论.

1)解:①在BC上取一点M,使BM=BE,连接FM,如图所示:

BDCEABC的两条角平分线,

∴∠FBE=FBM=ABC

BEFBMF中,

∴△BEF≌△BMFSAS),

故答案为:BMFSAS

②∵BDCEABC的两条角平分线,

∴∠FBC+FCB=(∠ABC+ACB),

ABC中,∠A+ABC+ACB=180°

∵∠A=60°

∴∠ABC+ACB=180°-A=180°-60°=120°

∴∠BFC=180°-(∠FBC+FCB=180°-(∠ABC+ACB=180°-×120°=120°

∴∠EFB=60°

故答案为:60

2)证明:由①知,∠BFE=60°

∴∠CFD=BFE=60°

∵△BEF≌△BMF

∴∠BFE=BFM=60°

∴∠CFM=BFC-BFM=120°-60°=60°

∴∠CFM=CFD=60°

CE是∠ACB的平分线,

∴∠FCM=FCD

FCMFCD中,

∴△FCM≌△FCDASA),

CM=CD

BC=CM+BM=CD+BE

BE+CD=BC

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