Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC＝，点P是边BC上的一点，M是线段AP上一点，线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PN，设BP＝t．

(1)如图①，当点P在点B，点M是AP中点时，试求AN的长；

(2)如图②，当＝时，

①求点N到BC边的距离(用含t的代数式表示)；

②当点P从点B运动至点C时，试求点N运动路径的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当0≤t≤6时，，当6≤t≤10时，；②

【解析】

（1）根据直角三角形中的勾股定理进行解答即可；
（2）①分0≤t≤6和6≤t≤10两种情况，利用相似三角形进行解答；
②利用勾股定理进行计算即可．

（1）∵在Rt△ABN中，∠ABN＝90°，AB＝10，

∴BN＝BM＝AB＝5，

∴AN＝＝；

（2）①（Ⅰ）当0≤t≤6时（如图①），

图①图②

如解图：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，

∵tan∠ABC＝＝，设AE＝4x，则BE＝3x，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB2＝AE2＋BE2，102＝（3x）2＋（4x）2，

解得：x＝2，∴AE＝8，BE＝6

当0≤t≤6时．

∵∠AEP＝∠PFN＝90°，∠APE＋∠FPN＝90°，∠APF＋∠PAE＝90°，

∴∠PAE＝∠FPN，

∴△APE∽△PNF，

∵＝，

∴＝＝＝，

∴；

（Ⅱ）当6≤t≤10时，

同理可得：

②如图②点N的运动路径是一条线段，

当P与O重合时，FN＝，PF＝2，

当P与C重合时，F′N′＝1，CF′＝2，

∴点N的路径长NN′＝＝．