【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,△ABC的高CD与角平分线AE相交点F,过点C作CH⊥AE于G,交AB于H.下列说法:①∠BCH=∠CAE;②DF=EF;③CE=BH;④S△ABE=2S△ACE;⑤CF=DF.正确的是_____.
【答案】①③⑤
【解析】
①根据同角的余角相等可得结论正确;
②如图1,作辅助线,构建三角形的内心为F,根据角平分线的性质得:DF=FM,由垂线段最短可知:EF>FM,则EF>DF;
③如图1,证明△ACF≌△CBH,可得CF=BH=CE,可作判断;
④如图2,连接EH,FH,先证明四边形CFHE是菱形,得CD∥EH,则EH⊥AB,所以△EHB是等腰直角三角形,则BE=EH=CE,根据三角形面积公式可得S△ABE=S△ACE;
⑤如图2,易得△ADF≌△CDH,由△FDH是等腰直角三角形,则FH=DF,所以CF=FH=DF.
①∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠AEC=90°,
∵CH⊥AE,
∴∠CGE=90°,
∴∠BCH+∠AEC=90°,
∴∠BCH=∠CAE;
故①正确;
②如图1,连接FB,过F作FM⊥BC于M,
∵AC=BC,CD⊥AB,
∴CD平分∠ACB,
∵AE平分∠CAB,
∴BF平分∠ABC,
∵FD⊥AB,
∴DF=FM,
Rt△FME中,∠AEC=45°+22.5°=67.5°,
∴EF>FM,
即EF>DF,
故②不正确;
③如图1,∵∠DCH=∠BCH,AE⊥CG,
∴∠CFG=∠CEF,
∴CF=CE,
在△ACF和△CBH中,
∵∠HCB=∠FAC,BC=AC,∠B=∠ACF=45°,
∴△ACF≌△CBH,
∴CF=BH=CE,
故③正确;
④如图2,连接EH,FH,
∵∠AHC=∠B+∠BCH=45°+22.5°=67.5°,
∠ACH=90°∠BCH=67.5°,
∴∠AHC=∠ACH,
∴AC=AH,
∵AE⊥CH,
∴CG=GH,
∵CF=CE,
∴GF=GE,
∴四边形CFHE是菱形,
∴CD∥EH,
∵CD⊥AB,
∴EH⊥AB,
∴△EHB是等腰直角三角形,
∴BE=EH=CE,
∵S△ABE=BEAC,
S△ACE=CEAC,
∴S△ABE=S△ACE,
故④不正确;
⑤如图2,易得△ADF≌△CDH,
∴DF=DH,
∴∠FHD=45°,
∴△FDH是等腰直角三角形,
∴FH=DF,
∵∠AHC=67.5°,
∴∠FHC=∠FCH=22.5°,
∴CF=FH=DF,
故⑤正确;
综上所述,正确的是:①③⑤
故答案为:①③⑤.
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【题目】如图,已知一张长方形纸片,,().将这张纸片沿着过点的折痕翻折,使点落在边上的点,折痕交 于点,将折叠后的纸片再次沿着另一条过点的折痕翻折,点恰好与点重合,此时折痕交于点.
(1)在图中确定点、点和点的位置;
(2)联结, 则等于多少°;
(3)用含有、的代数式表示线段的长.
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【题目】一个不透明的袋子中装有黑球两个,白球三个,这些小球除颜色外无其他区别,从袋子中随机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球都是黑球的概率为 .
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【题目】某街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书. 从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,工程预算的施工费用为50万元. 为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.
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【题目】△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,以C为中心将△ABC旋转θ角到△A1B1C(旋转过程中保持△ABC的形状大小不变)B点恰落在A1B1上,如图,则旋转角θ的大小为( )
A.α+10°
B.α+20°
C.α
D.2α
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【题目】如图,AB为半圆O的直径,AD、BC分别切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③S△AOD:S△BOC=AD2:AO2 , ④OD:OC=DE:OE,⑤OD2=DECD,正确的有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
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【题目】如图,已知BC,DE相交于点O,给出以下三个判断:①AB∥DE;②BC∥EF;③∠B=∠E,请你以其中两个判断作为题设,另外一个判断作为结论,写出所有的命题,指出这些命题是真命题还是假命题,并选择其中的一个真命题加以证明.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,∠AEB=80°,那么∠EBC等于( )
A. 15° B. 25° C. 15°或75° D. 25°或85°
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【题目】如图,下列判断错误的是( )
A. 如果∠2=∠4,那么AB∥CD B. 如果∠1=∠3,那么AB∥CD
C. 如果∠BAD+∠D=180°,那么AB∥CD D. 如果∠BAD+∠B=180,那么AD∥CD
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