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【题目】如图,在ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,ABC的高CD与角平分线AE相交点F,过点CCHAEG,交ABH.下列说法:①∠BCH=CAE;DF=EF;CE=BH;SABE=2SACECF=DF.正确的是_____

【答案】①③⑤

【解析】

①根据同角的余角相等可得结论正确;
②如图1,作辅助线,构建三角形的内心为F,根据角平分线的性质得:DF=FM,由垂线段最短可知:EF>FM,则EF>DF;
③如图1,证明ACF≌△CBH,可得CF=BH=CE,可作判断;
④如图2,连接EH,FH,先证明四边形CFHE是菱形,得CDEH,则EHAB,所以EHB是等腰直角三角形,则BE=EH=CE,根据三角形面积公式可得SABE=SACE
⑤如图2,易得ADF≌△CDH,由FDH是等腰直角三角形,则FH=DF,所以CF=FH=DF.

①∵∠ACB=90°
∴∠CAE+AEC=90°
CHAE
∴∠CGE=90°
∴∠BCH+AEC=90°
∴∠BCH=CAE
故①正确;
②如图1,连接FB,FFMBCM,


AC=BC,CDAB
CD平分∠ACB
AE平分∠CAB
BF平分∠ABC
FDAB
DF=FM
RtFME,AEC=45°+22.5°=67.5°
EF>FM
EF>DF,
故②不正确;
③如图1,∵∠DCH=BCH,AECG
∴∠CFG=CEF
CF=CE
ACFCBH中,
∠HCB=∠FAC,BC=AC,∠B=∠ACF=45°
∴△ACF≌△CBH
CF=BH=CE,
故③正确;
④如图2,连接EH,FH,
∵∠AHC=B+BCH=45°+22.5°=67.5°


ACH=90°∠BCH=67.5°
∴∠AHC=ACH
AC=AH
AECH
CG=GH
CF=CE
GF=GE
∴四边形CFHE是菱形,
CDEH
CDAB
EHAB
∴△EHB是等腰直角三角形,
BE=EH=CE,
SABE=BEAC,
SACE=CEAC,
SABE=SACE
故④不正确;
⑤如图2,易得ADF≌△CDH
DF=DH
∴∠FHD=45°
∴△FDH是等腰直角三角形,
FH=DF
∵∠AHC=67.5°
∴∠FHC=FCH=22.5°
CF=FH=DF
故⑤正确;
综上所述,正确的是:①③⑤
故答案为:①③⑤.

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