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【题目】如图,AM为⊙O的切线,A为切点,过⊙O上一点BBDAM于点D,BD交⊙OC,OC平分∠AOB.

(1)求∠AOB的度数;

(2)若线段CD的长为2cm,求的长度.

【答案】(1)120°;(2).

【解析】

(1)由AM为圆O的切线,利用切线的性质得到OAAM垂直,再由BDAM垂直,得到OABD平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由OC为角平分线得到一对角相等,以及OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°,即可得出答案;
(2)过点OOE⊥BD,垂足为E,由题意可证四边形ADEO是矩形,可得OA=DE,即可求CD=CE=2cm,可得OA=4cm,根据弧长公式可求弧AB的长度.

解:(1)AM为圆O的切线,

OAAM,

BDAM,

∴∠OAD=BDM=90°,

OABD,

∴∠AOC=OCB,

OB=OC,

∴∠OBC=OCB,

OC平分∠AOB,

∴∠AOC=BOC,

∴∠BOC=OCB=OBC=60°,

∴∠AOB=120°;

(2)如图:过点OOEBD,垂足为E

∵∠BOC=OCB=OBC=60°,

OB=OC=BC

OEBD,

BE=CE=BC=OA

OEBD,且OAAD,BDAD

∴四边形ADEO是矩形

OA=DE

CD+CE=OA=2CE,且CD=2cm

CE=2cm

OA=4cm

∴弧AB的长度= π

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