Question

5．如图，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC⊥BC，CD∥AB，AB=AD，点E为BD的中点．求证：AE、AD三等分∠BAC．

Answer 1

分析 过C作CH⊥AB于H，过A作AF⊥DC交DC延长线于F，求出四边形AFCH是矩形，根据矩形的性质得出CF=AH，AF=CH，根据线段垂直平分线的性质求出AC=BC，求出AF=FC=AH=CH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，根据含30°角的直角三角形性质求出∠FDA=30°，∠FAD=60°，求出∠CAD=15°，根据等腰三角形性质求出∠DAE=∠BAE=15°，即可得出答案．

解答 证明：如图：

过C作CH⊥AB于H，过A作AF⊥DC交DC延长线于F，
则∠F=∠AHB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠FAH=∠F=∠CHA=90°，
∴四边形AFCH是矩形，
∴CF=AH，AF=CH，
∵C在AB垂直平分线上，
∴AC=BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠FAC=90°-45°=45°，
∴∠FCA=∠FAC=45°，
∴AF=FC=AH=CH=$\frac{1}{2}$AB，
∵AD=AB，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠F=90°，
∴∠FDA=30°，∠FAD=60°，
∴∠CAD=60°-45°=15°，
∵AD=AB，E为BD的中点，
∴∠DAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$（45°-15°）=15°，
即∠CAD=∠DAE=∠BAE=15°，
所以AE、AD三等分∠BAC．

点评 本题考查了矩形的性质和判定，等腰直角三角形，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．