Question

13．如图：我国海监船沿东西方向的海岸线l上的M、N处停泊着我国渔民的捕鱼船，MN=1km，我国海监船在点M的正东方向30km的点O处，观测到一日系船正匀速直线航向我国海域，当该日系船位于点O的北偏东30°方向上的A处（OA=20$\sqrt{3}$km）时，我方开始向日方喊话，但该日系船仍匀速航行，40min后，又测该日系船位于点O的正北方向上的点B处，且OB=20km．（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732）
（1）求该日系船航行的速度．
（2）若该日系船不改变方向继续航行，则其是否会正好行至我国捕鱼船停泊处（即M、N处）？请经过计算说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AP⊥OB垂足为P，Rt△APO中，OA=20$\sqrt{3}$km，在Rt△APO中，求出PO=$\sqrt{（20\sqrt{3}）^{2}-（10\sqrt{3}）^{2}}$=30km，进而求出AB的长，然后求出日系船的航行速度；
（2）延长AB交l于点Q，利用BO=20 km，根据cot∠BQO=$\frac{QO}{PO}$，求出QO的长，再比较即可．

解答 解：（1）过点A作AP⊥OB垂足为P，Rt△APO中，OA=20$\sqrt{3}$km，
∵sin∠AOP=$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AP}{20\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$
∴AP=10$\sqrt{3}$km，
Rt△APO中，PO=$\sqrt{（20\sqrt{3}）^{2}-（10\sqrt{3}）^{2}}$=30km，
∵BO=20 km，
∴BP=10 km，Rt△APB中，AB=$\sqrt{（10\sqrt{3}）^{2}+{10}^{2}}$=20km，
∴该日系船航行的速度为：$\frac{20}{\frac{2}{3}}$=30km/h；
（2）延长AB交l于点Q，易求∠BQO=∠PAB=30°，
∵BO=20 km，cot∠BQO=$\frac{QO}{PO}$，
∴QO=20$\sqrt{3}$km＞30＞29，
日系船不会行至我国捕鱼船停泊处．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．