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【题目】综合与实践
在数学活动课上,老师给出如下问题,让同学们展开探究活动:
问题情境:
如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=a,点D为AB上一点(0<AD< AB),将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到的对应线段为CE,过点E作EF∥AB,交BC于点F.请你根据上述条件,提出恰当的数学问题并解答.

解决问题:
下面是学习小组提出的三个问题,请你解答这些问题:
(1)“兴趣”小组提出的问题是:求证:AD=EF.
(2)“实践”小组提出的问题是:如图(2),若将△ACD沿AB的垂直平分线对折,得到△BCG,连接EG,则线段EG与EF有怎样的数量关系?请说明理由.

(3)“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上,提出了如下问题:延长EF与AC交于点H,连接HD,FG.求证:四边形DGFH是矩形.
提出问题:
(4)完成上述问题的探究后,老师让同学们结合图(3),提一个与四边形DGFH有关的问题.
“智慧”小组提出的问题是:当AD为何值时,四边形DGFH的面积最大?
请你参照智慧小组的做法,再提出一个与四边形DGFH有关的数学问题(提出问题即可,不要求进行解答,但所提问题必须有效)
你提出的问题是:

【答案】
(1)证明:连接BE,如图1所示:

∵∠DCE=∠ACB=90°,

∴∠ACD=∠BCE,

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE,∠CBE=∠CAD=45°.

∴∠ABE=90°.

∵EF∥AB,

∴∠FEB+∠ABE=180°,

∴∠FEB=90°,

∴∠EFB=∠EBF=45°,

∴EF=BE,

∴AD=EF


(2)解:EG= EF.理由如下:如图2所示,连接BE.

由(1)可知,BE=AD,EF=AD,BE⊥AB.

∵AD=BG,

∴BE=BG=EF,

∴∠BGE=∠BEG=45°,

∴EG= BG,

∴EG= EF


(3)证明:如图3所示,连接BE.

∵FH∥AB,

∴∠CHF=∠A=45°,∠CFH=∠B=45°,

∴∠CHF=∠CFH,

∴CH=CF.

∵△ACD与△BCG对称,点D的对应点为G,

∴CD=CG,∠HCD=∠FCG,

在△HCD和△FCG中,

∴△HCD≌△FCG(SAS),

∴DH=FG,∠CDH=∠CGF.

又∵∠CDA=∠CGB,

∴∠HDA=∠FGB.

由(1),(2)可知,BG=EF=BE,BG∥EF,∠EBG=90°,

∴四边形BEFG为正方形,

∴∠FGB=90°.

∴∠HDG=∠HDA=90°.

∴HD∥FG,

又∵HF∥DG,

∴四边形DGFH是平行四边形,

∴四边形DGFH为矩形


(4)当AD为何值时,四边形DGFH为正方形
【解析】(4)解:当AD为何值时,四边形DGFH为正方形(答案不唯一);

所以答案是:当AD为何值时,四边形DGFH为正方形.

【考点精析】通过灵活运用翻折变换(折叠问题)和旋转的性质,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了即可以解答此题.

练习册系列答案
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【题目】若一个正比例函数的图象经过点(﹣2,1),则这个图象也一定经过点( )
A.(﹣ ,1)
B.(2,﹣1)
C.(﹣1,2)
D.(1,

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【题目】问题探究:探究与应用
(1)如图1,在正方形ABCD中,AB=2,点E是边AD的中点,请在对角线AC上找一点P,使得PE+PD的值最小,并求出这个最小值;(不用写作法,保留作图痕迹)

(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是边BC的中点,若点P是边AB上一动点,当△PED的周长最小时,求BP的长度;
问题解决:

(3)某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心,如图3,矩形OABC是它的规划图纸,其中A为入口,已知OA=30,OC=20,点E是边AB的中点,以顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,点D是边OA上一点,若将△ABD沿BD翻折,点A恰好落在边BC上的点F处,在点F处设一出口,点M、N分别是边OA、OC上的点,现规划在点M、N、F、E四处各安置一个健身器材,并依次修建MN、NF、FE及EM四条小路,则是否存在点M、N,使得这四条小路的总长度最小?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

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【题目】x满足,求的值.

解:设,则

所以== ==32-2×2=5

请运用上面的方法求解下面的问题:

1)若满足,求 的值;

2)已知正方形ABCD的边长为EF分别是ADDC上的点,且AE=1CF=3,长方形EMFD的面积是35,求长方形EMFD的周长.

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【题目】阅读下列材料,完成相应任务:

折纸三等分角
三等分角问题(trisection of an angle)是二千四百年前,古希腊人提出的几何三大作图问题之一(三等分任意角、化圆为方、倍立方),即用圆规与直尺(没有刻度,只能做直线的尺子)把一任意角三等分,这问题曾吸引着许多人去研究,但无一成功.1837年法国数学家凡齐尔(1814~1848)运用代数方法证明了,仅用尺规不可鞥呢三等分角.
如果作图工具没有限制,将条件放宽,将任意角三等分是可以解决的.下面介绍一种折纸三等分任意锐角的方法:
①在正方形纸片上折出任意∠SBC,将正方形ABCD对折,折痕为记为MN,再将矩形MBCN对折,折痕记为EF,得到图1;
②翻折左下角使点B与EF上的点T重合,点M与SB上的点P重合,点E对折后的对应点记为Q,折痕为记为GH,得到图2;
③折出射线BQ,BT,得到图3,则射线BQ,BT就是∠SBC的三等分线.

下面是证明BQ,BT是∠SBC三等分线的部分过程:
证明:过T作TK⊥BC,垂足为K,则四边形EBKT为矩形
根据折叠,得EB=QT,∠EBT=∠QTB,BT=TB
∴△EBT≌△QTB,
∴∠BQT=∠TEB=90°,
∴BQ⊥PT

学习任务:
(1)将剩余部分的证明过程补充完整;
(2)若将图1中的点S与点D重合,重复材料中的操作过程得到图4,请利用图4,直接写出tan15°=(不必化简)

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【题目】中考体育测试前,某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况,随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩,并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图:

请你根据图中的信息,解答下列问题:

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3)该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人,如果体育中考引体向上达6个以上(含6个)得满分,请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名?

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A.2
B.4
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A.1B.2C.3D.4

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