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【题目】阅读下列材料,完成相应任务:

折纸三等分角
三等分角问题(trisection of an angle)是二千四百年前,古希腊人提出的几何三大作图问题之一(三等分任意角、化圆为方、倍立方),即用圆规与直尺(没有刻度,只能做直线的尺子)把一任意角三等分,这问题曾吸引着许多人去研究,但无一成功.1837年法国数学家凡齐尔(1814~1848)运用代数方法证明了,仅用尺规不可鞥呢三等分角.
如果作图工具没有限制,将条件放宽,将任意角三等分是可以解决的.下面介绍一种折纸三等分任意锐角的方法:
①在正方形纸片上折出任意∠SBC,将正方形ABCD对折,折痕为记为MN,再将矩形MBCN对折,折痕记为EF,得到图1;
②翻折左下角使点B与EF上的点T重合,点M与SB上的点P重合,点E对折后的对应点记为Q,折痕为记为GH,得到图2;
③折出射线BQ,BT,得到图3,则射线BQ,BT就是∠SBC的三等分线.

下面是证明BQ,BT是∠SBC三等分线的部分过程:
证明:过T作TK⊥BC,垂足为K,则四边形EBKT为矩形
根据折叠,得EB=QT,∠EBT=∠QTB,BT=TB
∴△EBT≌△QTB,
∴∠BQT=∠TEB=90°,
∴BQ⊥PT

学习任务:
(1)将剩余部分的证明过程补充完整;
(2)若将图1中的点S与点D重合,重复材料中的操作过程得到图4,请利用图4,直接写出tan15°=(不必化简)

【答案】
(1)解:剩余的证明过程如下:

∵ME=PQ,EB=QT,ME=EB,

∴PQ=QT,

∴BP=BT,

∴∠PBQ=∠TBQ,

∵TK=BE,

∴TK=TQ,

∴∠QBT=∠TBC,

∴射线BQ,BT是∠SBC的三等分线


(2)2﹣
【解析】解:(2)同(1)可知:射线BQ,BT是∠DBC的三等分线,

过T作TJ⊥BC,垂足为J,如图所示:

则∠TBJ= ∠DBC,

∵四边形ABCD为正方形,

∴∠DBC=45°,

∴∠TBJ=15°,

由折叠性质得:BH=HT,

∴∠TBJ=∠HTB=15°,

∴∠THJ=30°,

设BC=4,则BE=1,

∵将正方形ABCD对折,折痕为记为MN,再将矩形MBCN对折,折痕记为EF,TJ⊥BC,

∴四边形EBJT为矩形,

∴TJ=BE=1,

在Rt△THJ中,∠THJ=30°,

∴HT=2TJ=2,HJ=cot30°TJ= ×1=

∴BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ ,tan∠TBJ= = =2﹣

即tan15°=2﹣

所以答案是:2﹣

【考点精析】掌握翻折变换(折叠问题)和锐角三角函数的定义是解答本题的根本,需要知道折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等;锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.

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【题目】某服装公司招工广告承诺:熟练工人每月工资至少3000元.每天工作8小时,一个月工作25天.月工资底薪800元,另加计件工资.加工1件A型服装计酬16元,加工1件B型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时,加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.(工人月工资=底薪+计件工资)
(1)一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时?
(2)一段时间后,公司规定:“每名工人每月必须加工A,B两种型号的服装,且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A型服装a件,工资总额为W元.请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺?

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【题目】下表是橘子的销售额随橘子卖出质量的变化表:

质量/千克

1

2

3

4

5

6

7

8

9

销售额/元

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?

2)当橘子卖出5千克时,销售额是_______元.

3)如果用表示橘子卖出的质量,表示销售额,按表中给出的关系,之间的关系式为______.

4)当橘子的销售额是100元时,共卖出多少千克橘子?

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【题目】已知:如图,ABC中,∠BAD=EBCADBEF

1)试说明:∠BFD=ABC

2)若∠ABC=40°EGADEHBE,求∠HEG的度数.

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【题目】我们经常利用图形描述问题和分析问题.借助直观的几何图形,把问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路.

1)在整式乘法公式的学习中,小明为了解释某一公式,构造了几何图形,如图1所示,先画了边长为ab的大小两个正方形,再延长小正方形的两边,把大正方形分割为四部分,并分别标记为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,然后补出图形Ⅴ.显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等,所以图形Ⅰ,Ⅱ,Ⅴ的面积和与图形Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ的面积和相等,从而验证了公式.则小明验证的公式是

2)计算:(x+a)(x+b= ;请画图说明这个等式.

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【题目】综合与实践
在数学活动课上,老师给出如下问题,让同学们展开探究活动:
问题情境:
如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=a,点D为AB上一点(0<AD< AB),将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到的对应线段为CE,过点E作EF∥AB,交BC于点F.请你根据上述条件,提出恰当的数学问题并解答.

解决问题:
下面是学习小组提出的三个问题,请你解答这些问题:
(1)“兴趣”小组提出的问题是:求证:AD=EF.
(2)“实践”小组提出的问题是:如图(2),若将△ACD沿AB的垂直平分线对折,得到△BCG,连接EG,则线段EG与EF有怎样的数量关系?请说明理由.

(3)“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上,提出了如下问题:延长EF与AC交于点H,连接HD,FG.求证:四边形DGFH是矩形.
提出问题:
(4)完成上述问题的探究后,老师让同学们结合图(3),提一个与四边形DGFH有关的问题.
“智慧”小组提出的问题是:当AD为何值时,四边形DGFH的面积最大?
请你参照智慧小组的做法,再提出一个与四边形DGFH有关的数学问题(提出问题即可,不要求进行解答,但所提问题必须有效)
你提出的问题是:

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(2)小明获得玩具熊、童话书、水彩笔的概率分别是多少?

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