Question

11．如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，四边形ECFD为正方形，若AD=3，DB=4，求阴影部分的面积．
（提示：将△AED绕D点按逆时针方向旋转90°，得到△A₁FD，把阴影部分构造成规则的图形）

Answer 1

分析 根据正方形的性质得DE=DF，∠EDF=∠DFC=∠DEC=90°，则将△AED绕D点按逆时针方向旋转90°，得到△A₁FD，根据旋转的性质得∠ADA′=90°，∠DEA=∠DFA′=90°，则可判断点A′在CF上，所以DA′=DA=3，然后利用阴影部分的面积等于Rt△DA′B的面积求解．

解答 解：∵四边形ECFD为正方形，
∴DE=DF，∠EDF=∠DFC=∠DEC=90°，
∴将△AED绕D点按逆时针方向旋转90°，得到△A₁FD，如图，
∴∠ADA′=90°，∠DEA=∠DFA′=90°，
∴点A′在CF上，DA′=DA=3，
∴S_△DEA=S_△DFA′，
∴阴影部分的面积=S_△DA′B=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．通过旋转把阴影部分构造成规则的图形是解决此题的关键．