Question

4．如图，点A、B在⊙O上，点C是OB延长线上一点，∠AOB=2∠BAC．
（1）求证：AC是O的切线；
（2）若⊙O的半径是2，BA=BC，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）设∠BAC=x°，由已知得∠AOB=2x°，再根据三角形的内角和定理得出∠OAB，从而得出∠OAC=90°，即可得出AC是O的切线；
（2）根据BA=BC，∠AOB=2∠BAC，可证明△OAB为等边三角形，阴影部分的面积=S_△OAC-S_扇形AOB．

解答 解：（1）设∠BAC=x°，
∵∠AOB=2∠BAC，
∴∠AOB=2x°，
∴∠OAB=90-x，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°-x°+x°=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是O的切线；
（2）∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠AOB=2∠BAC，
∴∠AOB=∠BAC+∠BCA，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OCA=30°，
∵OA=2，
∴AC=$\sqrt{3}$，OC=2，
∴S_阴影=S_△OAC-S_扇形AOB
=$\frac{1}{2}$OA•AC-$\frac{60π•4}{360}$
=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
=$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定以及扇形面积的计算，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．