Question

【题目】如图，在四边形中，，，对角线，点在轴上，与轴平行，点在轴上．

（1）求的度数．

（2）点在对角线上，点在四边形内且在点的右边，连接，已知，，设．

①求的长（用含的代数式表示）；

②若某一反比例函数图象同时经过点、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）① ;②

【解析】

（1）连接AC，首先证明，则有，进而可得，再利用勾股定理即可求出BE,DE的长度，然后利用特殊角的三角函数值即可求出的度数，最后利用即可求解；

（2）连接AQ，取AD的中点F，连接QF，易证均为等边三角形，然后证明，则有，再证明C,Q,F三点共线，然后求出CF的长度，最后利用即可求解；

（3）先利用平行线分线段成比例求出Q的坐标，然后求出点A的坐标，进而求出反比例函数的解析式，将Q的坐标代入反比例函数解析式中即可求出m的值．

（1）连接AC交BD于点E，

在和中，

．

，

．

，

设 ，

则有，

解得 ．

在中，

，

，

．

（2）①连接AQ，取AD的中点F，连接QF，

∵，，

为等边三角形，

．

∵，，

为等边三角形，

，

，

．

，

．

，点F是 AD中点，

．

在和中，

，

．

∵为等边三角形，点F为AD中点，

，

∴C,Q,F三点共线．

∵，，

，

；

②过点Q作交AC于点G，过点F作交AC于点H,

∵,

．

∵点F是AD中点，

，

．

∵,

，

，

即，

解得，

，

∴点Q的坐标为．

,

∴点A的坐标为，

设反比例函数的解析式为 ，

将点A代入反比例函数中，得，

∴反比例函数的解析式为．

将点Q的坐标代入反比例函数的解析式中，有

，

解得 或（舍去）．