Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．

（1）求证：EM是⊙O的切线；

（2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如下图，根据垂径定理得∠AOF=90°，根据三角形内角和得到∠A+∠AFO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，从而证切线；

（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和等边三角形的面积公式即可得到结论．

解：（1）连接OC，

∵OF⊥AB，

∴∠AOF＝90°，

∴∠A+∠AFO=90°，

∵∠ACE+∠AFO＝180°，∠ACE+∠ACM＝180°

∴．∠AFO=∠ACM

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO+∠ACM．＝90°，

∴∠OCM＝90°

∴OC⊥ME，

∴EM是⊙O的切线；

（2）∵∠EOC＝2∠A=2∠E

又∵∠EOC+∠E=∠COM=90°，

∴∠E+2∠E=90°，

∴∠E＝30°，

∴∠EOC＝60°，

∴CE=OCtan60°=，△OCB是等边三角形

∴阴影部分的面积＝．