Question

已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）若AD是△ABC的中线，证明：BE=CF；
（2）若BE=CF，证明：AD是△ABC的中线．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由已知条件易证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质可得：BE=CF；
（2）由条件可以得出∠BED=∠CFD=90°，再通过证明△BED≌△CFD就可以得出结论．

解答：证明：（1）
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CFD中

∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90° BD=CD

，
∴△BED≌△CFD，
∴BE=CF；
（2）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BED和△CFD中，

∠BED=∠CFD=90° ∠BDE=∠CDF BE=CD

，
∴△BED≌△CFD，
∴BD=CD，
即AD是△ABC的中线．

点评：本题考查了垂直的性质的运用，运用AAS证明三角形全等的运用及全等三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．