Question

20．如图，直角坐标系中．点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
（3）在y轴上是否存在一点P使△PAE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判断△OBC≌△ABD；
（2）由△OBC≌△ABD得到∠BAD=∠BOC=60°，则利用平角定义可计算出∠OAE=60° 然后在Rt△EOA中，利用正切定义可计算出OE=$\sqrt{3}$，从而得到点E的坐标为（0，$\sqrt{3}$），于是可判断点E的位置不发生变化；
（3）先计算出AE=2，再分类讨论：当EP=EA=2时，以点E为圆心，2为半径作圆交y轴的两个交点即为P点，容易得到此时P点坐标；当AE=AP时，此时点P与点E关于x轴对称，则P点坐标为（0，-$\sqrt{3}$）；当PE=PA时，作AE的垂直平分线交y轴于P点，连结PA，如图，设P（0，t），则PE=PA=$\sqrt{3}$-t，在Rt△OPA中，利用勾股定理得到t²+1²=（$\sqrt{3}$-t）²，解得t=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$，此时P点坐标为（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$）．

解答 解：（1）△OBC与△ABD全等．理由如下：
∵△AOB、△CBD都是等边三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=BA}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD；
（2）点E位置不变．
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∴∠OAE=180°-60°-60°=60°
在Rt△EOA中，EO=OA•tan60°=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
（3）存在．
在Rt△EOA中，∵OE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴AE=2，
当EP=EA=2时，P点坐标为（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\sqrt{3}$-2）；
当AE=AP时，P点坐标为（0，-$\sqrt{3}$）；
当PE=PA时，作AE的垂直平分线交y轴于P点，连结PA，如图，
设P（0，t），则PE=$\sqrt{3}$-t，
∴PA=$\sqrt{3}$-t，
在Rt△OPA中，t²+1²=（$\sqrt{3}$-t）²，解得t=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$，此时P点坐标为（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，2+$\sqrt{3}$）或（0，$\sqrt{3}$-2）或（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求P点坐标．