Question

如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AC=8，AB=5，求ED的长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质得出AO=CO，根据等边三角形的性质得出EA=EC，推出EO⊥AC，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出BO，求出DO，根据勾股定理求出EO，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵△EAC是等边三角形，
∴EA=EC，
∴EO⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，
∴AO=CO=4，DO=BO，
在Rt△ABO中，BO=

AB2-AO2

=3，
∴DO=BO=3，
在Rt△EAO中，EO=

EA2-AO2

=4

3

，
∴ED=EO-DO=4

3

-3．

点评：本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．