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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于点E;
(1)若B、C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC;
(2)若B、C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.

【答案】
(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,

∴∠ADB=∠AEC=90°,

在Rt△ABD和Rt△ACE中,

∴Rt△ABD≌Rt△CAE.

∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠ACE.

∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°.

∠BAC=180°﹣(∠BAD+∠CAE)=90°.

∴AB⊥AC


(2)解:AB⊥AC.理由如下:

同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE.

∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,

∵∠CAE+∠ECA=90°,

∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,

∴AB⊥AC.


【解析】(1)由已知条件,证明ABD≌△ACE,再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°,即可证明AB⊥AC;(2)同(1),先证ABD≌△ACE,再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°,即可证明AB⊥AC.
【考点精析】利用全等三角形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等.

练习册系列答案
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