Question

如图，已知AB=AC，BC=BD=DA．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：点D是AC的黄金分割点；
（3）求sin

A

2

的值．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：

分析：（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可；
（2）如果AC：AD=AD：DC，那么点D是AC的黄金分割点，根据已知条件可得∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：BC=BC：DC；将BC=DA代入即可；
（3）设AB=AC=1，由（2）点D是AC的黄金分割点，根据黄金分割的概念可知AD=

5 -1

2

，则BC=DA=

5 -1

2

．作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可知BE=EC=

1

2

BC=

5 -1

4

，∠BAE=∠CAE=

1

2

∠A，然后根据正弦函数的定义即可求解．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
解得∠A=36°；

（2）在等腰△ABC中，∵∠A=∠ABD=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
在△ACB和△BCD中，
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点；

（3）设AB=AC=1．
由（2）知AC：AD=AD：DC，
∴AD=

5 -1

2

，
∴BC=DA=

5 -1

2

．
作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=

1

2

BC=

5 -1

4

，∠BAE=

1

2

∠A，
∴sin

A

2

=

BE

AB

=

5 -1

4

．

点评：本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（

5 -1

2

）叫做黄金比．也考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义．