Question

【题目】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴正半轴交于点，连接，为线段上的动点，与，不重合，作交于，关于的对称点为，连接，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点在抛物线上时，求点的坐标；

(3)设点的横坐标为，与重叠部分的面积为．

①直接写出与的函数关系式；

②当为直角三角形时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(1，0)；（3）①当-3＜x≤时，S=；当＜x＜4时，S=；②的值是或．

【解析】

（1）求出点A，B坐标，代入抛物线解析式，解关于b，c的方程组即可；

（2）设点P(x，0)，易得OB=OC，得到∠BCP=45°，由，得∠QPA=∠BCO=45°，从而有∠APD=90°，故D（x，x+3），代入解析式即可得解.

（3）①分两种情况i)当点P在线段AC的中点左侧时，始终在内部，ii)当点p在线段AC的中点右侧时，有部分在外部，然后分别计算重叠部分的面积求解即可.②分∠QDB=90°与∠QBD=90°，由PQ∥BC，得到，得到 QB=，又BD=,利用勾股定理建立方程求解即可.

（1）令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3

∴A（-3，0）B（0，4）∵抛物线经过A，B两点，

∴

解得，c=4

∴

（2）设P点坐标为(x，0)

令=0

解得

∴OB=OC=4

∴∠BCO=45°

又PQ∥BC

∴∠QPA=∠BCO=45°

∴∠APD=90°

∴D（x，x+3）

∴，解得

∵P与A，C不重合

∴P(1，0)

（3）为便与计算，先设点P的坐标为（m，0），又PQ∥BC，则直线PQ的解析式为y=-x-m，

由 解得：，即 ，

则=

i)当点P在线段AC的中点的左侧时，即-3＜m≤,始终在内部，与重叠部分的面积为===,

ii)当点P在线段AC的中点的右侧时，即＜m＜4，有部分在外部，如图2所示，∵PQ∥BC，易知∽,∴（，分别为PQ，BC上的高，）∴易得的边MN上的高与边PQ上的高之比为，又∵∽,∴,=,

∴与重叠部分的面积为=-=-=

,

∵点P（x,0），将上面式子中的m换为x即可.

②∵∠AQP=∠PQD=∠ABC=45°,

∴∠AQD>90°，

∴∠BQD≠90°，

i)当∠QDB=90°时，

设P(x，0)，则D(x，x+3)，AP=x+3,且易知AB=5，AC=7

又PQ∥BC

∴，

∴AQ=

∴QB=，

又∵B(0,4)，D(x，x+3)，

∴BD=，

∵∠QDB=90°，

∴

∴

整理得：

解之得：（与点A重合，舍），

∴P(，0)

ii)若∠QBD=90°，

同理：

∴

整理得：

解之得：（与点C重合，舍）

∴P(，0)

∴当△BDQ为直角三角形时，的值是或．

∴ 综上① i)当-3＜x≤时，S=, ii)当＜x＜4时，S=

②当△BDQ为直角三角形时，的值是或．