Question

【题目】已知函数y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x，且当x=1或x=4时，y的值均为．

请对该函数及其图象进行如下探究：

（1）解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：　 　．

（2）函数图象探究：

①根据解析式，补全下表：

②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

①当x，，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：　 　；（用“＜”或“=”表示）

②若直线y=k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是　 　，此时，x的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①答案见解析；②答案见解析；（3）①y2＜y1＜y3；②1＜k，x＜2或2＜x≤8．

【解析】

（1）用待定系数法设，y2=k2（x-2），则+k2(x2)，将已知条件代入得关于k1、k2方程组，即可求得该函数解析式；
（2）选取适当数值填表，在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象；
（3）观察图象，得出结论．

（1）设，y2=k2（x﹣2），则，

由题意得：，

解得：，

∴该函数解析式为．

故答案为：，

（2）①根据解析式，

当x=2时，；

当x=8时，；

补全下表：

②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．

（3）①由（2）中图象可得：（2，1）是图象上最低点，在该点左侧，y随x增大而减小；在该点右侧y随x增大而增大，

∵当x，，8时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，

∴，，，

∴y2＜y1＜y3．

故答案为：y2＜y1＜y3．

②观察图象得：x，图象最低点为（2，1），

∴当直线y=k与该图象有两个交点时，1＜k，

此时x的范围是：x＜2或2＜x≤8．

故答案为：1＜k，x＜2或2＜x≤8．