Question

1．课本P₁52有段文字：把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x-3的图象．
【阅读理解】
小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？
老师给了以下提示：如图1，在函数y=-2x的图象上任意取
两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，
直线A′B′就是函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象．
请你帮助小尧解决他的困难．
（1）将函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为C
A．y=-2x+3
B．y=-2x-3
C．y=-2x+6
D．y=-2x-6
【解决问题】
（2）已知一次函数的图象如图2与直线y=-2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．
【拓展探究】
（3）将一次函数y=-2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．（直接写结果）

Answer 1

分析 （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可；
（2）找出y=-2x上两点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）由题意设出旋转后的函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，根据（2，3）到直线y=-2x与y=$\frac{1}{2}$x+b距离相等求出b的值，即可确定出所求函数解析式．

解答 解：（1）利用平移规律得：将函数y=-2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式y=-2（x-3）=-2x+6．
故选：C；
（2）在函数y=-2x的图象上取两个点A（0，0）、B（1，-2），
关于x轴对称的点的坐标A′（0，0）、B′（1，2），
设所求一次函数解析式为y=mx，
把x=1，y=2代入得：m=2，
则一次函数的表达式为y=2x；
（3）设旋转后的函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵点（2，3）到直线y=-2x的距离d=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
∴点（2，3）到直线y=$\frac{1}{2}$x+b的距离d=$\frac{|b-2|}{\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{2|b-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{7}{\sqrt{5}}$，
整理得：|b-2|=$\frac{7}{2}$，即b-2=$\frac{7}{2}$或b-2=-$\frac{7}{2}$，
解得：b=$\frac{11}{2}$（不合题意，舍去）或b=-$\frac{3}{2}$，
则所求函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．  
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，平移、对称及旋转的性质，以及点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．