Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，

（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；

（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长；

（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝时，求△NED的面积．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）3；（3）

【解析】

（1）作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．想办法证明EM垂直平分CD即可解决问题；

（2）连接BM、BG．由△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC，推出AM＝EM＝2，EG＝CG，设EG＝CG＝x，则DG＝6﹣x．在Rt△DMG中，根据MG2＝DG2+DM2，列出方程即可解决问题；

（3）连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．只要证明∠ECD＝∠GCB，推出tan∠GBC＝tan∠ECD＝，推出CG＝2，由CD＝6，可得CG＝DG＝2，设AN＝EN＝y，则DN＝6﹣y，在Rt△DNG中，利用勾股定理求出y即可解决问题．

解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∵BC＝BE，

∴AB＝BE＝CD，

在Rt△BFA和Rt△BFE中，，

∴Rt△BFA≌△Rt△BFE（HL），

∴∠ABF＝∠EBF＝30°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠EBC＝30°，

∴EH＝MC＝BE＝CD，

∴DM＝CM，

∵EM⊥CD，

∴ED＝EC，

∵∠BCE＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠EDC＝∠ECD＝15°．

（2）如图2中，连接BM、BG．

∵AM＝2，

∴DM＝AD﹣AM＝4，

由（1）可知△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC，

∴AM＝EM＝2，EG＝CG，

设EG＝CG＝x，则DG＝6﹣x．

在Rt△DMG中，MG2＝DG2+DM2，

∴（2+x）2＝（6﹣x）2+42，

∴x＝3，

∴EG＝3．

（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．

AN＝NE，EG＝CG，

∵BE＝BC，

∴BG垂直平分CE，

∴∠ECG+∠BCG＝90°，∵∠GBC+∠ECB＝90°，

∴∠ECD＝∠GCB，

∴tan∠GBC＝tan∠ECD＝，

∴＝，

∴CG＝BC＝2，

∵CD＝6，

∴DG＝CD﹣CG＝4，设AN＝EN＝y，则DN＝6﹣y，

在Rt△DNG中，（6﹣y）2+42＝（2+y）2，

解得：y＝3，

∴AN＝NE＝3，DN＝3，NG＝5，

∴S△NED＝S△DNG＝××3×4＝．