【题目】如图,已知半圆⊙O的直径AB=10,弦CD∥AB,且CD=8,E为弧CD的中点,点P在弦CD上,联结PE,过点E作PE的垂线交弦CD于点G,交射线OB于点F.
(1)当点F与点B重合时,求CP的长;
(2)设CP=x,OF=y,求y与x的函数关系式及定义域;
(3)如果GP=GF,求△EPF的面积.
【答案】(1)CP=2;(2);(3)
【解析】
(1)如图1,连接EO,交弦CD于点H,根据垂径定理得EO⊥AB,由勾股定理计算,可得EH的长,证明∠HPE=∠HGE=45°,则PE=GE.从而可得结论;
(2)如图2,连接OE,证明△PEH∽△EFO,列比例式可得结论;
(3)如图3,作PQ⊥AB,分别计算PE和EF的长,利用三角形面积公式可得结论.
(1)连接EO,交弦CD于点H,
∵E为弧CD的中点,
∴EO⊥AB,
∵CD∥AB,
∴OH⊥CD,
∴CH=,
连接CO,
∵AB=10,CD=8,
∴CO=5,CH=4,
∴,
∴EH=EO﹣OH=2,
∵点F与点B重合,
∴∠OBE=∠HGE=45°,
∵PE⊥BE,
∴∠HPE=∠HGE=45°,
∴PE=GE,
∴PH=HG=2,
∴CP=CH﹣PH=4﹣2=2;
(2)如图2,连接OE,交CD于H,
∵∠PEH+∠OEF=90°,∠OFE+∠OEF=90°,
∴∠PEH=∠OFE,
∵∠PHE=∠EOF=90°,
∴△PEH∽△EFO,
∴,
∵EH=2,FO=y,PH=4﹣x,EO=5,
∴,
∴.
(3)如图3,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,
∵GP=GF,
∴∠GPF=∠GFP,
∵CD∥AB,
∴∠GPF=∠PFQ,
∵PE⊥EF,
∴PQ=PE,
由(2)可知,△PEH∽△EFO,
∴,
∵PQ=OH=3,
∴PE=3,
∵EH=2,
∴,
∴,
∴,
∴.
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【题目】我们知道:有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地我们定义:有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,A(2,0),B(-2,0),D是y轴上的一个动点,∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列), BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E,DE平分∠ADC,连结AE,BD.显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形.
(1)求证:ΔABC是半直角三角形;
(2)求证:∠DEC=∠DEA;
(3)若点D的坐标为(0,8),求AE的长.
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【题目】如图, 抛物线与轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包 含端点),则下列结论:①;②;③对于任意实数m,总成立;④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】探测气球甲从海拔处出发,与此同时,探测气球乙从海拔处出发.图中的分别表示甲、乙两个气球所在位置的海拔(单位:)与上升时间(单位:)之间的关系.
(1)求的函数解析式;
(2)探测气球甲从出发点上升到海拔处的过程中,是否存在某一时刻使得探测气球甲、乙位于同一高度?请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=35°,CD是斜边AB上的中线,如果将△BCD沿CD所在直线翻折,点B落在点E处,联结AE,那么∠CAE的度数是_____度.
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【题目】受“新冠”疫情影响,全国中小学延迟开学,很多学校都开展起了“线上教学”,市场上对手写板的需求激增.重庆某厂家准备3月份紧急生产A,B两种型号的手写板,若生产20个A型号和30个B型号手写板,共需要投入36000元;若生产30个A型号和20个B型号手写板,共需要投入34000元.
(1)请问生产A,B两种型号手写板,每个各需要投入多少元的成本?
(2)经测算,生产的A型号手写板每个可获利200元,B型号手写板每个可获利400元,该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板,总获利w元,设生产了A型号手写板a个,求w关于a的函数关系式;
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【题目】《如果想毁掉一个孩子,就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章.国际上,法国教育部宣布从 2018 年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机.为了解学生手机使用情况,某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动,他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查,并绘制成如图①,②的 统计图,已知“查资料”的人数是 40人.请你根据以上信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,“玩游戏”对应的百分比为______,圆心角度数是______度;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有学生2100人,估计每周使用手机时间在2 小时以上(不含2小时)的人数.
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【题目】如图,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动,且满足,.
(1)求证:;
(2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系,并说明理由.
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【题目】如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果精确到1海里,参考数据: ≈1.732)
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