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【题目】如图,已知半圆⊙O的直径AB10,弦CDAB,且CD8E为弧CD的中点,点P在弦CD上,联结PE,过点EPE的垂线交弦CD于点G,交射线OB于点F

1)当点F与点B重合时,求CP的长;

2)设CPxOFy,求yx的函数关系式及定义域;

3)如果GPGF,求△EPF的面积.

【答案】1CP2;(2;(3

【解析】

1)如图1,连接EO,交弦CD于点H,根据垂径定理得EOAB,由勾股定理计算,可得EH的长,证明∠HPE=∠HGE45°,则PEGE.从而可得结论;

2)如图2,连接OE,证明△PEH∽△EFO,列比例式可得结论;

3)如图3,作PQAB,分别计算PEEF的长,利用三角形面积公式可得结论.

1)连接EO,交弦CD于点H

E为弧CD的中点,

EOAB

CDAB

OHCD

CH

连接CO

AB10CD8

CO5CH4

EHEOOH2

∵点F与点B重合,

∴∠OBE=∠HGE45°

PEBE

∴∠HPE=∠HGE45°

PEGE

PHHG2

CPCHPH422

2)如图2,连接OE,交CDH

∵∠PEH+OEF90°,∠OFE+OEF90°

∴∠PEH=∠OFE

∵∠PHE=∠EOF90°

∴△PEH∽△EFO

EH2FOyPH4xEO5

3)如图3,过点PPQAB,垂足为Q

GPGF

∴∠GPF=∠GFP

CDAB

∴∠GPF=∠PFQ

PEEF

PQPE

由(2)可知,△PEH∽△EFO

PQOH3

PE3

EH2

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