Question

16．等边△ABC和等边△BDE，A、B、E在同-直线上，P是直线AB上一动点，从A向B方向移动．∠CPF=∠A，PF交射线BD于F．
（1）如图，P在线段AB上，探究线段PC与PF之间的关系并证明；
（2）当P在线段AB延长线上，请自行画图探究线段PC与PF之间的关系并证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CF，根据等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠DBE=60°，由平角的定义得到∠CBD=60°，根据已知条件推出C，P，B，F四点共圆，于是得到∠CFP=∠ABC=60°，根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）如图2，连接CF，根据等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠DBE=60°，由平角的定义得到∠CBD=60°，推出C，P，B，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠FCP=∠DBE=60°，即可得到结论．

解答 解：（1）PC=PF，
如图1，连接CF，
∵△ABC与△BDE是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBE=60°，
∵A、B、E在同-直线上，
∴∠CBD=60°，
∵∠CPF=∠A=60°，
∴∠CPF=∠CBF，
∴C，P，B，F四点共圆，
∴∠CFP=∠ABC=60°，
∴∠PCF=180°-∠CPF-∠CFP=60°，
∴∠CPF=∠PCF=∠PFC，
∴PC=PF；

（2）如图2，连接CF，
∵△ABC与△BDE是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBE=60°，
∵A、B、E在同-直线上，
∴∠CBD=60°，
∵∠CPF=∠A=60°，
∴∠CPF=∠CBF，
∴C，P，B，F四点共圆，
∴∠FCP=∠DBE=60°，
∴△FCP是等边三角形，
∴PC=PF．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．