Question

7．如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在墙上，当端点A离地面的高度AC长为1m时，竹竿AB的倾斜角α的正切tanα的值是多少？当端点A位于A′，离地面的高度A′C为2m时，倾斜角α′的正切tanα′的值是多少？tanα的值可以大于100吗？

Answer 1

分析 根据题意可以求得AC、BC的长度，从而可以求得BC的长，从而可得tanα的值，同理可得tanα′的值，根据一个锐角的正切值随着这个角的增大而增大，从而可知tanα的值是否可以大于100．

解答 解：由题意可得，∠ACB=90°，AB=3，AC=1，
∴$BC=\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{2}$．
∴tanα=$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵∠A′CB′=90°，A′B′=AB=3，A′C=2，
∴$B′C=\sqrt{A′B{′}^{2}-A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴tanα′=$\frac{A′C}{B′C}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵tanα=$\frac{AC}{BC}$，当AC很大时，则BC就很小，
∴tanα的值可以大于100．

点评 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件，知道一个锐角的正切值随着这个角的增大而增大．