Question

【题目】（1）方法形成

如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点H是BC的中点，连结AH并延长交DC的延长线于M，则有CM＝AB．请说明理由；

（2）方法迁移

如图②，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，E是AD上的点，且△ABE和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠EDC＝90°．请探究AH与DH之间的关系，并说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将Rt△DEC绕点E旋转到图③的位置，请判断（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AH⊥DH，AH＝DH，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

（1）由AB∥CD知∠BAH=∠CMH，∠B=∠BCM，结合BH=HC证△ABH≌△MCH，从而得出答案；
（2）延长AH交DC的延长线于F，证△ABH≌△FCH得AB=CF，AH=HF，由等腰直角三角形知AB=AE=CF，CD=DE，从而得AD=DF，据此即可得出AH⊥DH，AH=DH；
（3）作CF∥AB交AH的延长线于F，设旋转角度为α，则∠AED=∠DCF=180°-α，由（1）（2）得知AH=HF，AB=AE=CF，CD=DE，据此可证△AED≌△FCD得AD=DF，∠ADE=∠FDC，∠ADF=90°，从而得出答案．

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAH＝∠CMH，∠B＝∠BCM，

∵H是BC的中点，

∴BH＝HC，

∴△ABH≌△MCH（AAS），

∴AB＝CM．

（2）如图②，延长AH交DC的延长线于F，

∵∠BAE＝∠EDC＝90°，

∴∠BAE+∠EDC＝180°，

∴AB∥DF，BH＝HE，

由（1）得△ABH≌△FCH（AAS）

∴AB＝CF，AH＝HF，

由等腰Rt△ABE和等腰Rt△DEC得：AB＝AE＝CF，CD＝DE，

∴AD＝DF，

∴AH⊥DH，AH＝DH．

（3）如图③过点C作CF∥AB交AH的延长线于F，

连接AD和DF．

设旋转角度为α，则∠AED＝∠DCF＝180°﹣α，

由（1）（2）得：AH＝HF，AB＝AE＝CF，CD＝DE，

∴△AED≌△FCD（SSS），

∴AD＝DF，∠ADE＝∠FDC，

∴∠ADF＝90°，

∴AH⊥DH，AH＝DH．