Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线；

（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；

（2）求出AD、AC长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．

试题解析：（1）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠BAC=∠ACO．因为AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠CAD，故∠ACO=∠CAD．所以OC∥AD，又已知AD丄MN，所以OC丄MN，所以，直线MN是⊙O的切线；

（2）解：已知AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又AD丄MN，则∠ADC=90°．因为CD=3，∠CAD=30°，所以AD=，AB=6．在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，所以Rt△ABC∽Rt△ACD，则，则AB=，所以⊙O的半径为．