Question

【题目】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，是轴上的一个动点，（、、按顺时针方向排列），与经过、、三点的交于点，平分，连结，．显然、、是半直角三角形．

（1）求证：是半直角三角形；

（2）求证：；

（3）若点的坐标为，求的长；

（4）交轴于点，求△ACF与△BCA的面积之比.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析

【解析】

（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°。根据定义即可得出答案；

（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；

（3）设圆的半径为r，根据勾股定理可列方程求出r值，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；

（4）先证明△ADE≌△CDE，则∠EAC=∠ACE，做辅助线可知：△DGA是等腰直角三角形，由△ACF∽△BCA，由面积比等于相似比即可求出答案。

解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=45°，∵

是半直角三角形

（2）∵OM⊥AB，OA=OB，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵∠DEB=∠DAB，

∴∠DBA=∠DEB，

∵D、B、A、E四点共圆，

∴∠DBA+∠DEA=180°，

∵∠DEB+∠DEC=180°，

∴∠DEA=∠DEC

（3）

如上图1，连接AM，ME，设的半径为r

点的坐标为，

，

由得解得，的半径为

∵，

∴∠EMA=2∠ABE=90°

，

（4）

如图2，∵∠ADE=∠CDE=45°，∠DEA=∠DEC，

∴∠DCB=∠DAE

∵∠DAE=∠DBC

∴∠DCB=∠DBC

∴BD=DC=AD

∵DE=DE

∴△ADE≌△CDE

∴AE=CE

∴∠EAC=∠ACE

延长DE交AC于点G，过A作AH⊥BC于H

∴DG⊥AC

∴△DGA是等腰直角三角形

∴∠DAG=45°

∵∠FAC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACF

∴△ACF∽△BCA

∵点D坐标（0，4）

∴OD=4

由勾股定理得AD=

∴AG=

∴AC=2AG=

∵∠ABC=45°，AB=4

∴AH=BH=

由勾股定理得：CH=

∴BC=BH+CH=

∴