Question

【题目】已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边AB、边BC上，DE⊥AF，DE与AF交于点O，将线段AE沿AF进行平移至FG，过点G作GH⊥AB的延长线于点H．

（1）判断四边形BFGH的形状并证明；
（2）写出图中所有面积相等的图形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAE=∠ABC=90°，

∵DE⊥AF，

∴∠AOE=90°，

∴∠BAF+∠AEO=90°，∠AEO+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAD，

在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAD，

∴AE=BF，

∵AE=FG，

∴BF=FG，

∵GH⊥AH，FB⊥AH，

∴FB∥GH，

∵FG∥BH，

∴四边形BFGH是平行四边形，

∵∠FBH=90°，

∴四边形BFGH是矩形，

∵FG=BF，

∴四边形BFGH是正方形．

（2）解：图中所有面积相等的图形有：△ADE和△ABF，△ADO和四边形EBFOD的面积相等．

【解析】（1）由平移的性质和正方形的性质可证出△ADE≌△BAF，AE=FG=BF，进而证出四边形BFGH是正方形；（2）由△ADE≌△BAF，可得出它们面积相等，同时减去△AOE的面积，得到△ADO和四边形EBFOD的面积相等.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形，以及对平移的性质的理解，了解①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．