Question

7．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB=$\frac{3}{5}$．
（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．
①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）
②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A随着点A的运动而移动．
①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；
②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．

Answer 1

分析 （1）①根据正切的概念求出BC=10，OC=8，运用待定系数法求出直线BC的解析式，根据函数图象上点的坐标特征解得即可；
②作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，根据三角形面积公式计算即可；
（2）①根据切线的性质和相似三角形的性质计算即可；
②结合图形、运用直线与圆的位置关系定理解答．

解答 解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB=$\frac{3}{5}$，
∴BC=10，OC=8，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∵点Q的横坐标为m，
∴点Q的纵坐标为-$\frac{4}{3}$m+8；
②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，
$\frac{1}{2}$×AB×OQ=$\frac{1}{2}$×BO×CO，
解得，OQ=4.8，
∴PQ_最小=OQ_最小-1=3.8；
（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，
则AH⊥BC，又∠BOC=90°，
∴△BHA∽△BOC，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{AH}{OC}$，即$\frac{BA}{10}$=$\frac{1}{8}$，
解得，BA=$\frac{5}{4}$，
则OA=6-$\frac{5}{4}$=$\frac{19}{4}$，
∴t=$\frac{19}{4}$时，⊙A与直线BC相切；
 ②由（2）①得，t=$\frac{19}{4}$时，⊙A与直线BC相切，
当t=5时，⊙A经过点B，
当t=7时，⊙A经过点B，
当t=15时，⊙A经过点C，
故$\frac{19}{4}$＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系、待定系数法求一次函数的解析式以及最短距离的确定，灵活运用相关定理和数形结合思想是解题的关键．