Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB=10，CD∥AB，CD=6．
（1）求S_{四边形ABCD}；
（2）过C点作CE∥AD，交AB于E点，求sin∠BCE的值．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：（1）作OF⊥DC于F，连结OD，根据垂径定理由OF⊥DC得DF=

1

2

DC=3，在Rt△ODF中，利用勾股定理可计算出OF=4，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）易证四边形ABCD是等腰梯形，作DG⊥AB于G，根据等腰梯形的性质得出DG=OF=4，AG=

1

2

（AB-CD）=2．在Rt△ADG中，由勾股定理得出AD=

AG2+DG2

=2

5

，再证明四边形ADCE是平行四边形，得出CE=AD=2

5

，AE=CD=6，那么BE=AB-AE=4．然后根据S_△BCE=

1

2

BC•CE•sin∠BCE=

1

2

BE•DG，即可求出sin∠BCE=

4

5

．

解答：解：（1）作OF⊥DC于F，连结OC，如图，
∵OF⊥DC，
∴CF=DF=

1

2

DC=

1

2

×6=3，
∵直径AB=10，
∴OD=5，
在Rt△ODF中，OF=

OD2-DF2

=4，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

×（6+10）×4=32；

（2）∵CD∥AB，
∴

AD

=

BC

，
∴AD=BC，
∵CD∥AB，CD＜AB，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
作DG⊥AB于G，则DG=OF=4，AG=

1

2

（AB-CD）=2，
在Rt△ADG中，由勾股定理得，AD=

AG2+DG2

=2

5

，
∴BC=AD=2

5

．
∵CE∥AD，CD∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE=AD=2

5

，AE=CD=6，
∴BE=AB-AE=4．
∵S_△BCE=

1

2

BC•CE•sin∠BCE=

1

2

BE•DG，
∴

1

2

×2

5

×2

5

•sin∠BCE=

1

2

×4×4，
∴sin∠BCE=

4

5

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，圆周角定理，三角形、梯形的面积．准确作出辅助线是解题的关键．