Question

18．?ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，点P是AO上一动点，点Q是OC上一动点（P，Q不与端点重合），且AP=OQ，连接BQ，DP．
（1）线段PQ的长为12；
（2）设△PDO的面积为S₁，△QBO的面积为S₂，S₁+S₂的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着AP的增大，S₁+S₂的值是如何变化的；
（3）DP+BQ的最小值是12．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，由含30°角的直角三角形的性质得出OA=2OD，求出PQ=OA即可；
（2）由OD=OB得出S_△ODQ=S_△OBQ，由AP=OQ，得出S_△APD=S_△OQD，求出S₁+S₂=S_△DPQ=S_△AOD，再由勾股定理求出AD，即可得出结果；
（3）当AP=OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，
∵∠AOD=60°，∠ADO=90°，
∴∠OAD=30°，
∴OA=2OD=12，
∵AP=OQ，
∴OP+OQ=OP+AP=OA=12，
即PQ=12；
故答案为：12；
（2）S₁+S₂的值不变，S₁+S₂=18$\sqrt{3}$；理由如下：
如图所示，连结DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
∴S_△ODQ=S_△OBQ，
∵AP=OQ，
∴S_△APD=S_△OQD，
∴S₁+S₂=S_△DPQ=S_△AOD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$
∴S₁+S₂=S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OD=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$；
（3）DP+BQ最小值是12；理由如下：
当AP=OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，
∵∠ADO=90°，
∴DP=$\frac{1}{2}$OA=6，
同理BQ=6，
∴DP+BQ的最小值=6+6=12；
故答案为：12．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要运用勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识才能得出结果．