Question

20．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）因为A（-4，n）、B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点，利用待定系数法，将点B（2，-4）代入反比例函数关系式求出k的值，再将A的横坐标代入，求出A的纵坐标，然后将A、B点的坐标代入一次函数y=kx+b，组成二元一次方程组，求出一次函数的关系式．
（2）根据图象，观察一次函数的值小于反比例函数的值，从而确定x的取值范围．
（3）求出交点C的坐标，S_△AOB=S_△AOC+S_△COB．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入反比例函数 y=$\frac{m}{x}$得到：-4=$\frac{m}{2}$，解得m=-8．
故所求反比例函数关系式为：y=-$\frac{8}{x}$，
∵点A（-4，n）在反比例函数的图象上，
∴n=-$\frac{8}{-4}$，n=2，
∴点A的坐标为（-4，2），
由点A（-4，2）和点B（2，-4）都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴反比例函数的解析式为 y=-$\frac{8}{x}$，
一次函数的解析式为y=-x-2．

（2）由图象可得，一次函数的值小于反比例函数的值得x的取值范围是：x＞2或-4＜x＜0．

（3）根据（1）中的直线的解析式y=-x-2．且直线与x轴相交于点C，则令y=0
则x=-2，
即直线与x轴的交点C的坐标是（-2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，主要熟练掌握用待定系数法求函数的解析式．掌握数形结合的思想．