Question

13．如图，在△ABC中，∠ABP=2∠PBC，∠ACP=2∠PCB．
（1）若∠BPC=140°，求∠A的度数．
（2）求证：∠P=120°+$\frac{1}{3}$∠A．

Answer 1

分析 （1）要求∠A的度数，只需求出∠ABC+∠ACB的度数，只需求出∠PBC+∠PCB，只需运用三角形内角和定理即可解决问题；
（2）根据三角形内角和定理，将∠P转化为∠PBC+∠PCB，结合条件可转化为∠ABC+∠ACB，进而转化为∠A，问题得以解决．

解答 解：（1）∵∠BPC=140°，∴∠PBC+∠PCB=180°-140°=40°．
∵∠ABP=2∠PBC，∠ACP=2∠PCB，
∴∠ABC=3∠PBC，∠ACB=3∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=3（∠PBC+∠PCB）=3×40°=120°，
∴∠A=180°-120°=60°；

（2）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）
=120°+$\frac{1}{3}$∠A．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，运用整体思想是解决本题的关键．