【题目】综合与实践
四边形旋转中的数学
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
任务一：如图1，在矩形ABCD中，
，
，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．
请直接写出CG的长是______．
如图2，当矩形AEGF绕点A旋转
比如顺时针旋转
至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．
当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在ABCD中，
，，，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接
“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．
如图5，当AEGF绕点A旋转比如顺时针旋转，其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系
请你直接写出这个特定的数量关系．
【答案】（1）5；（2）
．（3）成立，详见解析.(4)
.
【解析】
延长EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形
在
中，利用勾股定理即可解决问题；
作
于
利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；
连接AG、
只要证明
∽
，可得
即可解决问题；
通过计算即可解决问题.
如图1中，延长EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．
在中，
，
，
．
故答案为5．
如图2中，作于P．
在矩形AEGF中，
，
，
，
，
在
中，
，
由
∽
，可得
，
，
，
，
，
在
中，
，
．
成立理由如下：连接AG、AC．
由旋转可知：
，
由勾股定理可知：
，
，
，
，
，
∽，
，
．
如图4中，延长EG交CD于H，作
于K．
由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF是平行四边形，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
．
在图5中，连接AG、同法可证：∽，可得：
，可得
．
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【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
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【题目】甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）写出表格中a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）如果乙再射击一次，命中7环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”“变小”“不变”）
（3）教练根据这10次成绩若选择甲参加比赛，教练的理由是什么？
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【题目】在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C. 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
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【题目】为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如表：
射击次序（次） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲的成绩（环） | 8 | 9 | 7 | 9 | 8 | 6 | 7 | a | 10 | 8 |
乙的成绩（环） | 6 | 7 | 9 | 7 | 9 | 10 | 8 | 7 | 7 | 10 |
（1）经计算甲和乙的平均成绩是8（环），请求出表中的a＝ ；
（2）甲成绩的中位数是 环，乙成绩的众数是 环；
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
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【题目】如图
，已知抛物线
与
轴相交于
，
两点，与
轴交于点
，
为顶点．
求直线
的解析式和顶点的坐标；
已知
，点
是直线下方的抛物线上一动点，作
于点
，当
最大时，有一条长为
的线段
（点
在点
的左侧）在直线
上移动，首尾顺次连接、、、构成四边形
，请求出四边形的周长最小时点的坐标；
如图
，过点作
轴交直线于点
，连接
，
点是线段上一动点，将
沿直线
折叠至
，是否存在点使得与
重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
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【题目】中日钓鱼岛争端持续，我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度.如图，
，
海里，
海里，钓鱼岛位于
点，我国海监船在点
处发现有一不明国籍的渔船自
点出发沿着
方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国海监船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点
处截住了渔船.
（1）请用直尺和圆规作出处的位置.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求我国海监船行驶的航程
的长.
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【题目】如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为________．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及
的长；
（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．
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【题目】如图，已知直线
与双曲线
交于
、
两点，且点的横坐标为4.
（1）若双曲线上一点
的纵坐标为8，求
的面积；
（2）过原点
的另一条直线
交双曲线于
，
两点（点在第一象限），若由点，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标.
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