Question

【题目】如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（I）求b，c的值；

（Ⅱ）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（Ⅲ）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）b=2，c=3；；（Ⅱ）F的坐标为（0，2）；（Ⅲ）见解析．

【解析】分析：（I）将点B、C的坐标代入函数解析式求得系数b、c的值即可；

（Ⅱ）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；

（Ⅲ）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．

详解：（I）∵OB=OC=3，

∴B（3，0），C（0，3），

将其代入y=-x2+bx+c，得

，

解得b=2，c=3；

（Ⅱ）设点F的坐标为（0，m）．

∵对称轴为直线x=1，

∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．

由（I）可知抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴E（1，4），

∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），

∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=-2x+6．

∵点F在BE上，

∴m=-2×2+6=2，即点F的坐标为（0，2）；

（Ⅲ）存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）（3-n）=（-n2+2n+3）QR，

∴QR=1．

①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，-n2+4n），R点的坐标为（n，-n2+4n），N点的坐标为（n，-n2+2n+3）．

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2，

∴n=时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，）；

②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2-4）．

同理，NQ2=1+（2n-1）2，

∴n=时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（，）．

综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）．