Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为

AC

上一点，AM和DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠AMD=∠FMC；
（2）若AE：EB=9：1，CD=6，求直径AB长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理,圆内接四边形的性质

专题：计算题

分析：（1）连结BC，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到

AC

=

AD

，再根据圆周角定理得到∠AMD=∠ABC，根据圆内接四边形的性质得∠FMC=∠ABC，然后等量代换即可得到结论；
（2）连结OD，设BE=x，则AE=9x，则AB=10x，可表示出OD=5x，OE=4x，再利用勾股定理计算出DE=3x，然后根据垂径定理得到DE=

1

2

CD=3，则有3x=3，解得x=1，易的AB=10．

解答：（1）证明：连结BC，如图，
∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠AMD=∠ABC，
∵∠FMC=∠ABC，
∴∠AMD=∠FMC；

（2）解：连结OD，设BE=x，则AE=9x，
∴AB=10x，
∴OD=OB=5x，
∴OE=OB-BE=4x，
在Rt△OED中，DE=

OD2-OE2

=3x，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=3，
∴3x=3，解得x=1，
∴AB=10．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理、勾股定理和圆内接四边形的性质．