Question

如图，在等边△ABC边上取中点D，BC延长线取一点E，使得CE=CD，DF⊥BE，AB=a．
（1）求证：BD=DE；
（2）求BF的长．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠DBC=30°，∠ACB=60°，再根据角之间的关系可得到∠DBC=∠E=30°，即BD=DE．
（2）通过解直角三角形即可求得．

解答：证明：（1）在等边△ABC中，
∴∠ACB=60°，AB=BC，∠ABC=60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，
∵DC=CE，
∴∠E=∠CDE．
∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°，
∴∠E=∠CDE=30°．
∴∠DBC=∠DEC=30°．
∴BD=DE．

（2）∵在等边△ABC中，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴BD=AB•sin60°=

3

2

a，
∵DF⊥BE，
∴BF=BD•cos30°=

3

2

×

3

2

a=

3

4

a．

点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用，应用直角三角函数解直角三角形；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．