Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）交于点M，过点M作MH⊥x轴，且tan∠AHO=2．
（1）k的值；
（2）点N（a，1）是反比例y=

k

x

（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点B为反比例函数图象上的一点，且满足S_△AMB=S_△AMH，请直接写出满足条件的B点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；
（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N₁，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置．
（3）先求出S_△AMH的值，再分两种情况求解①平移AM过点H，与反比例的交点为点B，设y=2x+b，②平移AM过点H′，与反比例的交点为点B，设y=2x+b，求解即可．

解答：解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1．
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4），
∵点M在y=

k

x

上，
∴k=1×4=4．
（2）存在．
如图1，

过点N作N关于x轴的对称点N′，连接MN′，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（a，1）在反比例函数y=

4

x

（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1），
∵N与N′关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），
∴N′的坐标为（4，-1），
设直线MN′的解析式为y=kx+b．
由

4=k+b -1=4k+b

，解得

k=- 5 3 b= 17 3

∴直线MN′的解析式为y=-

5

3

x+

17

3

．
令y=0，得x=

17

5

．
∴P点坐标为（

17

5

，0）．
（3）如图，作MQ⊥y轴，

∵OA=2，HM=4，OH=1，
S_△AMH=S_梯形OAMH-S_△AQM=

1

2

（AO+MH）•OH-

1

2

AO•OH=

1

2

×5×1-

1

2

×2×1=

3

2

，
①平移AM过点H，与反比例的交点为点B，设y=2x+b，
∵H（1，0）在y=2x+b上，
∴0=2+b，解得b=-2，
∴平移后的直线解析式为：y=2x-2，
与双曲线联立得，

y=2x-2 y= 4 x

，解得

x=2 y=2

或

x=-1 y=-4

（舍去）
∴B（2，2），
②平移AM过点H′，与反比例的交点为点B，设y=2x+b，
H′是H关于A点的对称点，
∵H（1，0），A（0，2），
∴H′（-1，4）
∵H′（-1，4）在y=2x+b上，
∴4=-2+b，解得b=6，
∴平移后的直线解析式为：y=2x+6与双曲线联立得

y=2x+6 y= 4 x

，解得

x= 17 -3 2 y= 17 +3

或

x= -3- 17 2 y=3- 17

（舍去）
∴B（

17 -3

2

，

17

+3），
综上所述：点B的坐标为（2，2）或（

17 -3

2

，

17

+3）．

点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及线路最短问题，解题的关键是分两种情况利用直线平移求点B的坐标．