Question

7．如图，已知在?ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，连接AE，F是AE上的点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，CE=2，AE=5，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，求出∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AF}{DE}$，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAF=∠AED，∠C+∠D=180°，
∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠D，
∵∠BAF=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4，
∴DC=AB=4，
∵CE=2，
∴DE=4-2=2，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AF}{DE}$，
∴$\frac{4}{5}$=$\frac{AF}{2}$，
解得：AF=1.6．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能求出△ABF∽△EAD是解此题的关键．