Question

在△ABC中，∠B=2∠C，AD为∠A的角平分线，mAB=nBD（n＞m＞0），则cosC=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：延长BK使BK=AB，过AH⊥BD于H，根据正弦定理和角平分线的定理以及余弦的定义即可求出cosC．

解答：解：延长BK使BK=AB，过AH⊥BD于H，
∵∠B=2∠C，
∴△ABK，△AKC为等腰三角形，
∴H为中点，
∵mAB=nBD，不妨设AB=n，BD=m，
则BH=ABcos2θ=mcos2θ
由正弦定理得

AB

sinθ

=

AC

sin2θ

，
∴AC=2ncosθ
由角平分线定理知道CD=2mcosθ，
∵H是中点，
∴n+ncos2θ=

1

2

（m+2mcosθ），
即4ncos²θ-2mcosθ-（m+n）=0，
解得cosθ=

m+n

2n

，
故答案为：

m+n

2n

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、正弦定理、角平分线定理以及三角形的外角和定理，题目的综合性较强，难度较大，正确的作出辅助线是解题关键．