Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（－2，2）．

⑴如图⑴，在△ABO为等腰直角三角形，求B点坐标．

⑵如图⑴，在⑴的条件下，分别以AB和OB为边作等边△ABC和等边△OBD，连结OC，求∠COB的度数．

⑶如图⑵，过点A作AM⊥y轴于点M，点E为x轴正半轴上一点，K为ME延长线上一点，以MK为直角边作等腰直角三角形MKJ，∠MKJ=90°，过点A作AN⊥x轴交MJ于点N，连结EN．则①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

Answer 1

【答案】（1）B(4,0)；（2）30°；（3）=1；

【解析】

（1）作AE⊥OB于点E，由点A的坐标就可以求出OE的值，就可以求出OB的值而得出结论．

（2）由等腰直角三角形和等边三角形的性质就可以得出∠CAO的值，再由等腰三角形的性质就可以求出∠AOC的值，从而得出结论；

（3）在AN上取一点P，使AP=OE，证明△APM≌△OEM，就可以得出MP=ME，∠AMP=∠OME，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠PMN=∠EMN，得出△PMN≌△EMN就可以得出结论．

(1)如图1，作AE⊥OB于点E，

∴∠AEO=90°.

∵A(2,2).

∴OE=AE=2.

∵AB=AO，

∴BO=2EO=4.

∴B(4,0)；

(2)∵△ABO为等腰直角三角形，

∴AB=AO，∠BAO=90°，∠AOB=45°.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB，

∴∠CAO=150°，AC=AO，

∴∠ACO=∠AOC=15°，

∴∠COB=45°15°=30°；

(3) 的值不变

理由：如图2，在AN上取一点P，使AP=OE，

∵AM⊥y轴，AN⊥x轴，

∴∠AQO=∠AMO=90°.

∵∠MOQ=90°，

∴四边形AMOQ是矩形。

∵A(2,2)，

∴AQ=OQ=2，

∴四边形AMOQ是正方形，

∴∠A=∠MOE=∠AMO=90°，

AM=OM.

在△APM和△OEM中，

，

∴△APM≌△OEM(SAS)，

∴MP=ME，∠AMP=∠OME.

∵∠AMP+∠PMO=90°，

∴∠OME+∠PMO=90°，

即∠PME=90°.

∵△MKJ等腰直角三角形，

∴∠JMK=45°，

∴∠PMN=45°，

∴∠PMN=∠EMN.

在△PMN和△EMN中，

，

∴△PMN≌△EMN(SAS)，

∴PN=EN.

∵PN=ANAP，

∴PN=AN0E，

∴ANOE=EN.

∴=1