Question

如图，正六边形T₁的6个顶点都在⊙O上，正六边形T₂的6条边都和⊙O相切（我们称T₁、T₂分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）
（1）设T₁、T₂的边长分别为a、b，⊙O的半径r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T₁、T₂的面积比S₁：S₂的值．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．

解答：解：（1）连接圆心O和T₁的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T₂相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=

3

：2；

（2）T₁：T₂的边长比是

3

：2，所以S₁：S₂=（a：b）²=3：4．

点评：本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．