Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点P从点A出发，沿A﹣B﹣C运动，速度为每秒1个单位长度．点Q从点C出发，沿C﹣A﹣D运动，沿C﹣A运动时的速度为每秒1个单位长度，沿A﹣D运动时的速度为每秒3个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，P、Q两点同时停止运动．连结PQ、CP．设△APQ的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．

（1）当t＝6时，求AQ的长．

（2）当点Q沿C﹣A运动时，用含t的代数式表示点Q到AB、BC的距离．

（3）求S与t的函数关系式．

（4）在点P运动的过程中，直接写出△APQ与△CPQ同时为钝角三角形时t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）AQ＝3;（2）点Q到AB的距离：;点Q到BC的距离：;（3）见解析;（4）见解析.

【解析】

（1）如图1中，画出图形求出AQ即可；

（2）如图2中，QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．则四边形MBNQ是矩形，可得QM=BN，QN∥AB，推出，可得，由此即可解决问题；

（3）分三种情形求解①如图3中，当0＜t≤3时，②如图4中，当3＜t≤5时，③如图5中，当5＜t≤时；

（4）求出三个特殊位置的t的值即可解决问题.

（1）如图1中，

在Rt△ACB中，AC＝＝＝5，

∴t＝6时，点Q在AD时，

AQ＝3（t﹣5）＝3×（6﹣5）＝3．

（2）如图2中，QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．则四边形MBNQ是矩形，

∴QM＝BN，QN∥AB，

∴，

∴，

∴QN＝t，CN＝t，

∴QM＝BM＝4﹣t．

∴点Q到AB的距离：4-t．

点Q到BC的距离：t；

（3）①如图3中，当0＜t≤3时，

S＝APQM＝t（4﹣t）＝﹣t2+2t．

②如图4中，当3＜t≤5时，

S＝S△ABC﹣S△ABP﹣S△QPC＝×3×4﹣×（7﹣t）t﹣（t﹣3）×3＝t2﹣t+．

③如图5中，当5＜t≤时，

；

（4）如图6中，

当PQ∥BC时，

∵AP：AB＝AQ：AC，

∴t：3＝（5﹣t）：5，解得t＝，

如图7中，

当PQ∥AB时，CP：CB＝CQ：CA，

∴（7﹣t）：4＝t：5，解得t＝，

如图8中，

当AQ＝BP时，3（t﹣5）＝t﹣3，解得t＝6，

∴当0＜t＜或＜t＜5或5＜t＜6时，△APQ与△CPQ同时为钝角三角形．