Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．

（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；

（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；

（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答： （填“成立”或“不成立”）

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、理由见解析；(3)、成立.

【解析】

试题分析：(1)、根据点O为中点，∠ACB=90°得出OA=OB=OC，根据∠A=30°可得∠B=∠COB=60°，根据∠COM=90°得出∠AOM=∠A=30°，则AM=OM，根据Rt△COM的勾股定理得出所求的答案；(2)、过A作AF‖BC交CO的延长线于点F，连接FM，证明△BOC≌△AOF，得出BC=AF，FO=CO，根据Rt△AMF的勾股定理进行说明.

试题解析：(1)、∵O为AB中点，∠ACB=90°∴OA=OB=OC，∵∠A=30°∴∠B=60°

∴∠COB=60° ∵∠COM=90°∴∠AOM=∠A=30°∴AM=OM

在Rt△COM中，由勾股定理得MC2=OM2+OC2∴ MC2=AM2+BC2；

(2)、成立。如图，

过A作AF‖BC交CO的延长线于点F，连接FM

∵O为AB中点，可证△BOC≌△AOF，∴BC=AF，FO=CO ∵AF‖BC，∠ACB=90°∴∠CAF=90°

∵FO=CO，∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，

在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2， 即MC2=AM2+BC2

(3)、成立。