Question

4．等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则BC=2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．

解答 解：作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×5×CD=10，
解得：CD=4，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB-AD=2，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=8，
∴BD=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
综上所述：BC的长为2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及勾股定理，解题的关键画出图形，分两种情况讨论．