Question

15．如果α和β是方程2x²+4x+1=0的两个实数根，求值：
（1）（α-β）²；
（2）$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{αβ}$+$\frac{1}{β}$．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到α+β=-2，αβ=$\frac{1}{2}$，再利用完全平方公式得到（α-β）²=（α+β）²-4αβ，通过通分得到$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{αβ}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β+1}{αβ}$，然后利用整体代入的方法分别计算即可．

解答 解：根据题意得α+β=-2，αβ=$\frac{1}{2}$，
（1）（α-β）²=（α+β）²-4αβ=（-2）²-4×$\frac{1}{2}$=2；
（2）$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{αβ}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$+$\frac{1}{αβ}$=$\frac{α+β+1}{αβ}$=$\frac{-2+1}{\frac{1}{2}}$=-2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．